以下のように新潟代数セミナーをハイブリッド形式(対面+Zoom)で行います。
２講演あります。皆様のご参加をお待ちしております。

対面で参加予定の方（講演者を除く）は、hoshi ＠ math.sc.niigata-u.ac.jp
(星)まで、事前にお知らせ頂けますと大変ありがたいです。

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日時：2024年11月18日(月) 16:30〜18:00

場所：新潟大学理学部A棟523室（大セミナー室）+ Zoom

講演者：星 明考（新潟大学）

タイトル：Norm one tori and Hasse norm principle, III: Degree 16 case

アブストラクト：
Let k be a field, T be an algebraic k-torus, X be a smooth 
k-compactification of T and ${\rm Pic}\,\overline{X}$ be 
the Picard group of $\overline{X}=X\times_k\overline{k}$ 
where $\overline{k}$ is a fixed separable closure of k. 
Hoshi, Kanai and Yamasaki [HKY22], [HKY23] determined 
$H^1(k,{\rm Pic}\, \overline{X})$ for norm one tori 
$T=R^{(1)}_{K/k}(\mathbb{G}_m)$ and gave a necessary and 
sufficient condition for the Hasse norm principle for 
extensions K/k of number fields with $[K:k]\leq 15$. 
In this paper, we treat the case where [K:k]=16. 
Among 1954 transitive subgroups $G=16Tm\leq S_{16}$ 
$(1\leq m\leq 1954)$ up to conjugacy, we determine 
1101 (resp. 774, 31, 37, 1, 1, 9) cases with 
$H^1(k,{\rm Pic}\, \overline{X})=0$ 
(resp. Z/2Z, (Z/2Z)^2, (Z/2Z)^3, (Z/2Z)^4, (Z/2Z)^6, Z/4Z) 
where G is the Galois group of the Galois closure L/k of K/k. 
We see that $H^1(k,{\rm Pic}\, \overline{X})=0$ implies that 
the Hasse norm principle holds for K/k. 
In particular, among 22 primitive G=16Tm cases, i.e. $H\leq G=16Tm$ 
is maximal with [G:H]=16, we determine exactly 6 cases 
(m=178, 708, 1080, 1329, 1654, 1753) with 
$H^1(k,{\rm Pic}\, \overline{X})\neq 0$ 
((Z/2Z)^2, Z/2Z, (Z/2Z)^2, Z/2Z, Z/2Z, Z/2Z). 
Moreover, we give a necessary and sufficient condition 
for the Hasse norm principle for K/k with [K:k]=16 
for 22 primitive G=16Tm cases. 
As a consequence of the 22 primitive G cases, we get 
the Tamagawa number $\tau(T)=1, 1/2, 1/4$ of 
$T=R^{(1)}_{K/k}(\mathbb{G}_m)$ over a number field k 
via Ono's formula $\tau(T)=1/|Sha(T)|$ where Sha(T) is 
the Shafarevich-Tate group of T. 
This is joint work with Kazuki Kanai and Aiichi Yamasaki (arXiv:2404.01362). 

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東京方面からお越しの方は、
11:40東京発の上越新幹線に乗って頂ければ間に合います。
東京--(上越新幹線)--新潟--(JR越後線)--新潟大学前

新潟大学理学部は五十嵐キャンパスにあります。
五十嵐キャンパスへの交通アクセス・キャンパスマップは
以下をご覧ください（理学部棟は中央のN1の建物です）：
http://www.niigata-u.ac.jp/university/map/ikarashi/

新潟代数セミナーのWeb page:
http://mathweb.sc.niigata-u.ac.jp/~hoshi/NiigataAlgebraSeminar-j.html

世話人：小島秀雄、高橋剛、星明考