以下のように新潟代数セミナーを行います。
２講演あります。皆様のご参加をお待ちしております。

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日時：2019年10月18日(金) 16:30〜18:00

場所：新潟大学理学部A棟523室（大セミナー室）

講演者: 星 明考（新潟大学）

タイトル：Norm one tori and Hasse norm principle (II)

アブストラクト：
金井和貴氏(新潟大学)，山崎愛一氏(京都大学)との共著論文
https://arxiv.org/abs/1910.01469
の内容を解説します．以下，arXivのアブストラクトです：

 Let k be a field and T be an algebraic k-torus. 
 In 1969, over a global field k, Voskresenskii proved that 
there exists an exact sequence 
$0\to A(T)\to H^1(k,{\rm Pic}\,\overline{X})^\vee\to Sha(T)\to 0$ 
where $A(T)$ is the kernel of the weak approximation of T, 
$Sha(T)$ is the Shafarevich-Tate group of T, X is a smooth 
compactification of T, $\overline{X}=X\times_k\overline{k}$, 
${\rm Pic}\,\overline{X}$ is the Picard group of $\overline{X}$ 
and $\vee$ stands for the Pontryagin dual. 
 In 1984, Kunyavskii showed that, among 73 cases of 3-dimensional 
k-tori T, there exist exactly 2 cases satisfy 
$H^1(k,{\rm Pic}\,\overline{X})\neq 0$. On the other hand, 
in 1963, Ono proved that $Sha(T)=0$ if and only if 
the Hasse norm principle holds for K/k where 
$T=R^{(1)}_{K/k}(G_m)$ is the norm one torus of K/k. 
 First, we show that, among 710 cases of 4-dimensional algebraic 
k-tori T, there exist exactly 2 (resp. 20, 688) cases with 
$H^1(k,{\rm Pic}\,\overline{X})\simeq(Z/2Z)^{\oplus 2}$ 
(resp. $H^1(k,{\rm Pic}\,\overline{X})\simeq Z/2Z$, 
$H^1(k,{\rm Pic}\,\overline{X})=0$). 
Among 6079 cases of 5-dimensional algebraic k-tori T, 
there exist exactly 11 (resp. 263, 5805) cases 
with $H^1(k,{\rm Pic}\, \overline{X})\simeq(Z/2Z)^{\oplus 2}$ 
(resp. $H^1(k,{\rm Pic}\,\overline{X})\simeq Z/2Z$, 
$H^1(k,{\rm Pic}\,\overline{X})=0$). 
 Second, we determine $H^1(k,{\rm Pic}\,\overline{X})$ for 
norm one tori $T=R^{(1)}_{K/k}(G_m)$ with $[K:k]=n\leq 15$ and 
$n\neq 12$. We also show that $H^1(k,{\rm Pic}\,\overline{X})=0$ 
for the 5 Mathieu groups $M_n\leq S_n$. 
 Third, we give a necessary and sufficient condition for the 
Hasse norm principle for K/k with $[K:k]=n\leq 15$ and $n\neq 12$. 
As applications of the results, we get the group T(k)/R of 
R-equivalence classes over a local field k and the 
Tamagawa number $\tau(T)$ over a number field k. 

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講演後、懇親会を行います。参加予定の方は
hoshi ＠ math.sc.niigata-u.ac.jp
(星)までお知らせ頂きますよう、お願いします。

東京方面からお越しの方は、
11:40東京発の上越新幹線に乗って頂ければ間に合います。
東京--(上越新幹線)--新潟--(JR越後線)--新潟大学前

新潟大学理学部は五十嵐キャンパスにあります。
五十嵐キャンパスへの交通アクセス・キャンパスマップは
以下をご覧ください（理学部棟は中央のN1の建物です）：
http://www.niigata-u.ac.jp/university/map/ikarashi/

新潟代数セミナーのWeb page:
http://mathweb.sc.niigata-u.ac.jp/~hoshi/NiigataAlgebraSeminar-j.html

世話人：小島秀雄、高橋剛、星明考