情報基礎数学 I 小テスト問題 2006.06.9. 実施（吉原）

注意

(1) 扱う数はすべて整数であるとする。

(2) 答えだけでなく，途中経過あるいは証明をつけること。

1 方程式 420x + 1001y = 14 の整数解について考察する。

(1) 420 と 1001 の最大公約数をユークリッドの互除法を用いて求めよ。 (2) この方程式の一組の解を求めよ。

(3) この方程式のすべての整数解を求めよ。

2 a, b, c は素数で b − a = c − b = 2 であるとする。このとき整数の組 (a, b, c) を求めよ。次に， b − a = 2 のとき整数の組み (a, b) についてはどうか論ぜよ。

3 次の問に答えよ。

(1) a ≡ a′ mod (n), b ≡ b′ mod (n), c ≡ c′ mod (n) のとき，任意の整数 m に対して次の等式が成立することを証明せよ。

(a − b)m + bc ≡ (a′ − b′)m + b′c′ mod (n)

(2) 28^{1000} を 13 で割ったときの余りを求めよ。